\documentclass[12pt]{article} %%\usepackage{mathptm} \usepackage{epsf} \usepackage{bm} \pagestyle{myheadings} \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\topmargin}{0pt} \markboth{}{Ma98.6 Tarea \hfil Nombre\protect\rule{3in}{0.01in}} \newcommand{\bfa}{{\bf a}} \newcommand{\bfb}{{\bf b}} \newcommand{\bfc}{{\bf c}} \newcommand{\bfu}{{\bf u}} \newcommand{\bfv}{{\bf v}} \newcommand{\bfi}{{\bf i}} \newcommand{\bfj}{{\bf j}} \newcommand{\bfk}{{\bf k}} \newcommand{\bfr}{{\bf r}} \newcommand{\bfx}{{\bf x}} \newcommand{\bfF}{{\bf F}} \newcommand{\bfT}{{\bf T}} \newcommand{\bfN}{{\bf N}} \newcommand{\bfn}{{\bf n}} %%% \newcommand{\ben}{\begin{displaymath}} \newcommand{\een}{\end{displaymath}} \newcommand{\be}{\begin{equation}} \newcommand{\ee}{\end{equation}} \newcommand{\bea}{\begin{eqnarray}} \newcommand{\eea}{\end{eqnarray}} \newcommand{\bean}{\begin{eqnarray*}} \newcommand{\eean}{\end{eqnarray*}} \newcommand{\done}[2]{{d#1 \over d#2}} \newcommand{\pdone}[2]{{\partial#1 \over \partial#2}} \newcommand{\dpdone}[2]{{\delta \,#1 \over \delta \, #2}} \newcommand{\odeone}[2]{{d \, #1 \over d \, #2}} \newcommand{\odetwo}[2]{{d^2 \, #1 \over d \, #2^2}} \newcommand{\pdtwo}[2]{{{\partial^2}#1 \over \partial{#2}^2}} \newcommand{\dec}[2]{{#1 \times 10^{#2}}} %%\newcommand{\dexp}[2]{\ensuremath{#1 \times 10^{#2}}} \newcommand{\dexp}[2]{\ensuremath{#1 \cdot 10^{#2}}} \newcommand{\D}[1]{\ensuremath{\displaystyle{#1}}} \newcommand{\T}[1]{\ensuremath{\textstyle{#1}}} \newcommand{\Ss}[1]{\ensuremath{\scriptstyle{#1}}} \newcommand{\Sss}[1]{\ensuremath{\scriptscripstyle{#1}}} \renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\, \mathbf{#1}}} \newcommand{\subvec}[3]{\ensuremath{#1_#2, \ldots, \ldots, #1_#3}} \newcommand{\Nu}{\rm{Nu}} \newcommand{\ac}{\'a} \newcommand{\ec}{\'e} \newcommand{\ic}{\'{\i}} \newcommand{\oc}{\'o} \newcommand{\uc}{\'u} %%\newcommand{\Rey}{{\rm{Re}}} \newcommand{\Pra}{\rm{Pr}} \newcommand{\sect}[1]{\medskip \par \begin{center} {\large \bf #1} \end{center} \par \bigskip} \newcommand{\subsect}[1]{\medskip \par \noindent {\it #1} \par \bigskip} \newcommand{\bex}{\addtocounter{exno}{1}\medskip \noindent \rule[-.1in]{.01in}{.1in} \hspace*{-0.4em}\rule{1in}{.01in}\par\nopagebreak\noindent {\em Example \thechapter.\theexno }\par\footnotesize \leftskip=8mm\nopagebreak} \newcommand{\eex}{\nopagebreak\begin{flushright}\rule{1in} {.01in}\rule[.00in]{.01in}{.1in} \end{flushright}\par\medskip\normalsize \leftskip=0mm} \newcommand{\prob}{\section*{Problems}\addcontentsline{toc}{section}{Problems}\setcounter{exno}{0}\footnotesize} \newcommand{\probend}{\normalsize} \newcounter{exno} \begin{document} \title{Mi98.6 Tarea} \author{Pacheco, Abril 12, 2002} \date{} \maketitle Se permite el uso de cualquier tipo de literatura para resolver esta tarea. La tarea es grupal y se permite la comunicaci\'on verbal o escrita (relacionada con este cuestionario) con cualquier otra persona. Muestra tu trabajo; no se dar\'a cr\'edito a problemas cuyo trabajo no sea legible. \vspace*{2\bigskipamount} \begin{enumerate} \item Da la respuesta a las siguientes preguntas sobre tensores m\'etricos: \begin{enumerate} \item Sea $z^i = z^i (x^1, x^2, x^3)$, donde $x^i$ son las coordenadas Cartesianas y $z^i$ coordenadas curvil\'{\i}neas. Muestre que la raz\'on de vol\'umenes de elementos diferenciales en un espacio esta dado por $dV = J d V_0$ donde $J$ es el Jacobiano \ben J = \pdone{(z^1, z^2, z^3)}{(x^1, x^2, x^3)} \een de la transformaci\'on. Adem\'as $d V_0=dx^1dx^2dx^3$ y $dV = d\mathbf{z}^1 \cdot (d\mathbf{z}^2 \times d\mathbf{z}^3)$. \item Para las coordenadas el\'{\i}pticas cilindricas \bean y^1 &=& \cosh x^1 \cos x^2 \\ y^2 &=& \sinh x^1 \sin x^2 \\ y^3 &=& x^3 \eean encuentre la matriz Jacobiana $J$ y las componentes del tensor m\'etrico $g_{ij}$. \item Muestre usando notaci\'on indicial: \begin{eqnarray*} \nabla\times\nabla\phi&=&0\\ \nabla\cdot\nabla\times{\bf u}&=&0\\ {\bf w}\times({\bf u}\times {\bf v})&=&{\bf u}({\bf v}\cdot {\bf w}) -{\bf v} ({\bf u} \cdot {\bf w}) \\ \nabla({\bf u }\cdot {\bf v})&=&({\bf f }\cdot\nabla){\bf v}+({\bf v}\cdot \nabla) {\bf u}+{\bf u}\times (\nabla \times {\bf v})+{\bf v}\times (\nabla \times {\bf u})\\ \frac{1}{2}\nabla ({\bf u}\cdot {\bf u})&=&({\bf u}\cdot \nabla){\bf u}+ {\bf u}\times (\nabla\times {\bf u})\\ \nabla \cdot ({\bf u}\times {\bf v})&=&{\bf v}\cdot \nabla \times {\bf u}- {\bf u}\cdot \nabla \times {\bf v}\\ \nabla\times(\nabla\times {\bf u})&=&\nabla(\nabla\cdot {\bf u})-\nabla^2{\bf u}\\ \nabla\times({\bf u}\times {\bf v})&=&({\bf v}\cdot \nabla){\bf u}-({\bf u}\cdot\nabla){\bf v}+{\bf u}(\nabla \cdot {\bf v})-{\bf v}(\nabla \cdot {\bf u}) \end{eqnarray*} \item El radio vector est\'a definido por $r = \sqrt{x_j x_j}$. Muestre lo siguiente: \begin{eqnarray*} \pdone{r}{x_i}&=&\frac{x_i}{r}\\ \pdone{A(r)}{x_j}&=&\pdone{A(r)}{r}\frac{x_j}{r}\\ \frac{\partial^2 A(r)}{\partial x_k \partial x_j}&=& \delta_{jk} \frac{1}{r} \pdone{A(r)}{r}+ \left({\frac{\partial^2 A(r)}{\partial r^2 }- \frac{1}{r} \frac {\partial A(r)}{\partial r}} \right) \frac{x_jx_k}{r^2}\\ \end{eqnarray*} \item Si $\epsilon_{ij}$ y $\tau_{ij}$ denotan las componentes de segundo \'orden de los tensores de deformaci\'on y esfuerzo respectivamente, ambos se relacionan para un medio anisotr\'opico mediante la ley $\tau_{ij}=c_{ijrs} \epsilon_{rs}$. Muestre que $c_{ijrs}$ es un tensor de cuarto \'orden. \end{enumerate} \item Si $|g|=$ det $g_{ij}$ (determinante del tensor m\'etrico) demuestre que \begin{enumerate} \item \ben \pdone{|g|}{x^\mu} = |g| g^{\alpha \beta} \pdone{g_{\alpha \beta}}{x^\mu} \een \item \ben \pdone{\log |g|}{x^\mu} = 2 \Gamma^\alpha_{\alpha \, \mu} \een \item \ben \pdone{\log \sqrt{|g|}}{x^\mu} = \Gamma^\alpha_{\alpha \, \mu} \een \end{enumerate} \item Diferenciaci\'on covariante: Recuerda que \ben \pdone{\mathbf{v}}{x^i} = \pdone{}{x^i}(v^j \mathbf{g}_j) = \pdone{v^j}{x^i}\mathbf{g}_j + v^j \pdone{\mathbf{g}_j}{x^i} = \left( \pdone{v^j}{x^i}+ \Gamma^j_{i \,k} v^k \right) \mathbf{g}_j \een que puede ser escrito como \ben \pdone{\mathbf{v}}{x^i} = v^j_{,i} \mathbf{g}_j \een en el que la derivada parcial {\em covariante} de las componentes contravariantes de un vector con respecto a $x^i$ estan definidas como \ben v^j_{ ,i} = \pdone{v^j}{x^i}+ \Gamma^j_{i \,k} v^k \een \begin{enumerate} \item De forma similar a lo hecho en clase, probar que \ben v_{j,i} = \pdone{v_j}{x^i} - \Gamma^k_{j \,i} v_k \een \end{enumerate} \item Los operadores diferenciales son: \noindent Gradiente: \ben \nabla \phi = \pdone{\phi}{x^i}\mathbf{g}^i \een \noindent Divergencia: \ben \nabla \cdot \mathbf{v} = \pdone{}{x^i}\mathbf{g}^i \cdot v^j \mathbf{g}_j=v^j_{,i} \mathbf{g}^i \cdot \mathbf{g}_j = v^i_{ ,i} \een \noindent Rotacional: \ben \nabla \times \mathbf{v} = \mathbf{g}^i \pdone{}{x^i} \times v_j \mathbf{g}^j= \epsilon^{ijk} v_{k,j} \mathbf{g}_i \een \noindent Laplaciano: \ben \nabla^2 \phi = g^{ij} \phi_{,ij} \een \begin{enumerate} \item Prueba que el Laplaciano de $\phi$ puede ser escrito como: \ben \nabla^2 \phi = \frac{1}{\sqrt{|g|}}\pdone{}{x^j} \left({\sqrt{|g|}} g^{ij} \pdone{\phi}{x^j} \right) \een \item Calcula $\nabla \phi$ en coordenadas cil\'{\i}ndricas y esf\'ericas {\bf usando los simbolos de Christoffel}. \item Calcula $\nabla \cdot \mathbf{v} $ en coordenadas cil\'{\i}ndricas y esf\'ericas {\bf usando los simbolos de Christoffel}. \item Calcula $\nabla \times \mathbf{v}$ en coordenadas cil\'{\i}ndricas y esf\'ericas {\bf usando los simbolos de Christoffel}. \item Calcula $\nabla^2 \phi$ en coordenadas cil\'{\i}ndricas y esf\'ericas {\bf usando los simbolos de Christoffel}. \end{enumerate} \item Problemas de mecanica del medio continuo. \begin{enumerate} \item Escribe las ecuaciones de equilibrio en en coordenadas cil\'{\i}ndricas y esf\'ericas. \item Definimos la deformaci\'on infinitesimal mediante \ben \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right) \een donde $ u_{i,j}$ es la derivada covariante de $ u_{i}$. La ecuaci\'on de compatibilidad es \ben \varepsilon_{ij,kl} + \varepsilon_{kl,ij} - \varepsilon_{ik,jl} - \varepsilon_{jl,ik} = 0. \een Demuestre o niegue que esto es equivalente a \ben \nabla \times (\nabla \times \bm{\varepsilon}) = 0 \een \item La deformaci\'on finita se define como \ben \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} - u_{\alpha,i} u^\alpha_{\ ,i} \right). \een Usando el concepto de que las condiciones de compatibilidad deben de permanecer en el espacio Euclideano despues de la deformaci\'on, deriva dichas condiciones en coordenadas generalizadas. {\bf Nota}: Esta condici\'on se puede derivar facilmente si se utilizan coordenadas convectivas o intrinsecas (para deformaciones grandes). Usando el hecho de que el espacio del cuerpo deformado es Euclideo, deriva las condiciones de compatibilidad. Nota, sin embargo, que las propiedades de la derivada covariante del tensor m\'etrico es igual a cero tanto en el espacio de Riemann como en el Euclideo. La caracter\'{\i}stica que distingue un espacio Euclideo es la anulaci\'on del tensor de curvatura de Riemann-Christoffel $R^i_{pst}$. Si se expresa $R^i_{pst}=0$ en funci\'ion de los tensores m\'etricos antes y despues de la deformacion, obtendran las condiciones de compatibilidad. Vean {\em Theoretical Elasticity} Green y Zerna. \end{enumerate} \item De los ejercicios {\bf 2.4} de los apuntes, resuelvan: 23, 24, 26, 29, 30, 43, 44, 46, 47 y 50. \item De los ejercicios {\bf 2.5} de los apuntes, resuelvan: 9, 13, 21, 26, 27, 32 y 33. \end{enumerate} \end{document}